| | 08.09.2021

Рассмотрим следующую «общую» таблицу распределения вероятностей, где \ (X \) - это результат экзамена AP Stats, а \ (P (X) \) - вероятность того, что студент получит этот результат. Вероятности в этом примере были найдены с использованием относительной частоты (т. Е. Подсчета количества студентов, набравших каждый балл), а не математической функции.

Как многие из вас знают, экзамены AP оцениваются по шкале от 1 до 5, поэтому существует ровно 5 возможных значений для \ (X \).

\(ИКС\) \ (P (X) \)
1 0,15
2 0,20
3 0,35
4 0,20
5 .

Мы знаем, что все вероятности должны быть от 0 до 1 (или от 0% до 100%). Мы также знаем, что вероятности всех возможных значений \ (X \) в сумме равны 1 (100%), то есть \ (\ sum P (X = x) = 1 \).

Мой двоюродный брат пошел в Нотр-Дам, который принимал только \ (X = 5 \) за зачет в своих классах. Мы можем найти недостающую вероятность:

В штате Мюррей мы обычно принимаем оценку 3 или выше, чтобы засчитать курс AP.

Предположим, мы изменили нашу политику и принимаем только оценки выше 3.

Ожидаемое значение(среднее) любого дискретного распределения вероятностей может быть вычислена как: \ [\ mu_X = Е (Х) = \ сумма х \ раз Р (Х = х) \]

Дисперсиилюбого дискретного распределения вероятностей может быть вычислена как: \ [\ Sigma ^ 2_X = вар (Х) = \ сумма (х- \ mu_X) ^ 2 \ раз Р (Х = х) \]

\ [\ sigma ^ 2_X = Var (X) = (1-2.9) ^ 2 \ times 0.15 + \ cdots + (5-2.9) ^ 2 \ times 0.10 = 1.39 \]

14.3 Ожидаемая ценность игры в казино

Рулетка - одна из самых распространенных игр в казино . Можно сделать одну ставку - выбрать свое «счастливое» число между \ (1,2, \ cdots, 35,36 \). Предположим, что «27» - мое счастливое число, и я поставил одну спичку ($ 1) на «27». Мне заплатят 35 к 1 и я выиграю 35 долларов (35 спичек), если при вращении колеса выпадет число «27» и шарик упадет в этот слот.

Если есть 36 пронумерованных слотов из \ (1,2, \ cdots, 35,36 \) и каждый слот равновероятен, мы можем вычислить ожидаемую ценность игры.

Исход \(ИКС\) \ (P (X) \)
Выиграть 35 год \ (\ frac \)
Терять -1 \ (\ frac \)

Когда ожидаемая ценность игры равна нулю, это считается честной игрой. В долгосрочной перспективе мы ожидаем выхода на уровень безубыточности.

Очевидно, что казино обычно не предлагают честные игры, так как они хотят получать прибыль и у них есть расходы. В реальной игре в рулетку на самом деле есть 38 пронумерованных слотов, от 1 до 36, а также «0» и «00», но вам все равно платят 35 к 1 за выигрыш, как если бы было только 36 пронумерованных слотов.

Исход \(ИКС\) \ (P (X) \)
Выиграть 35 год \ (\ frac \)
Терять -1 \ (\ frac \)

На каждый поставленный доллар или спичку вы ожидаете проиграть около 0,053 доллара. «Преимущество казино» составляет 5,3%.

14.4 Ожидаемая стоимость страхования

В страховых компаниях работают аналитики, известные как актуарии , чья работа заключается в оценке рисков и помощи страховым компаниям в определении суммы, взимаемой за продаваемые ими премии. Рассмотрим очень упрощенный сценарий страхования.

Когда я работал сезонным рабочим в Йеллоустонском национальном парке, когда был студентом, у всех сезонных рабочих был страховой полис (был небольшой вычет из нашей зарплаты по этому полису), который платил бы мне (или моим ближайшим родственникам). ) фиксированная сумма, если я погибну или стану инвалидом летом. Задача актуариев - точно определить вероятности таких событий, как смерть и т. Д.

Исход \(ИКС\) \ (P (X) \)
Смерть 10000 долларов США 0,001
Инвалидность 5000 долл. США 0,002
Ни один 0 0,997

\ [E (X) = 10000 \ раз 0,001 + 5000 \ раз 0,002 + 0 \ раз 0,997 = 20 \]

Страховая компания должна будет взимать более 20 долларов за этот полис, чтобы рассчитывать на прибыль.

Хотя я этого не делал, мы могли вычислить дисперсию для игры в рулетку или для нашего страхового полиса. Вы обнаружите, что дисперсия больше для страхования, поскольку есть редкие события (смерть или инвалидность) с большими выплатами.

Если бы ваш сосед предложил вам 100 долларов в год, чтобы застраховать его дом, где вы должны были бы заплатить, чтобы восстановить его дом, если бы он был разрушен в результате пожара, но в противном случае вы могли бы сохранить 100 долларов, вы бы так поступили?

Большинство людей говорят «НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ», потому что риск того, что придется заплатить многие тысячи долларов за восстановление дома соседа, слишком велик и не стоит для вас 100 долларов. Страховые компании берут на себя этот риск для тысяч клиентов и возмещают выплаченные деньги за счет премий, собранных с тех из нас, кто не подает иск.

14.5 Давайте заключим сделку

Предположим, вы выбрали дверь №1. Ведущий игрового шоу показывает вам, что за дверью №3 был «козел», но вместо того, чтобы дать вам возможность переключиться на дверь №2 (которая, как мы теперь знаем, является лучшим вариантом), он предлагает нам 1000 долларов, чтобы отказаться от дверь. Если машина стоит 24000 долларов, какова ожидаемая стоимость сохранения двери и отказа от наличных?

Исход \(ИКС\) \ (P (X) \)
Машина 24 000 долл. США \ (\ гидроразрыва \)
Козел 0 долл. США \ (\ гидроразрыва \)

\ [E (X) = 24000 \ times \ frac + 0 \ times \ frac = 8000 \]

Мы видим, что с чисто математической точки зрения, мы должны отказаться от 1000 долларов и сохранить наше «эквити» за дверью, даже если большую часть времени мы будем проигрывать.

Очевидно, что с психологической и практической точек зрения, чем выше предложение, тем больше вероятность того, что люди выберут «верный вариант». Никого из вас не интересовало предложение в 1 доллар, если призом был подарочный сертификат на 24 доллара в местный ресторан.

Люди с высоким уровнем неприятия риска , скорее всего, воспользуются даже небольшими предложениями, которые значительно ниже ожидаемой стоимости, тогда как люди с низким уровнем неприятия риска , скорее всего, «рискнут» и попытаются выиграть большой приз, даже если предложение превышает ожидаемую ценность.

В экономической теории это можно точно выразить количественно с помощью функции полезности : математической функции, которая ранжирует альтернативы в соответствии с их полезностью для человека.