| | 08.09.2021

Добро пожаловать в Загадочник. Каждую неделю я предлагаю задачи, связанные с тем, что нам здесь дорого: математикой, логикой и вероятностью. Есть два типа: Riddler Express для тех из вас, кто хочет чего-то небольшого размера, и Riddler Classic для тех, кто увлекается медленными головоломками. Отправьте правильный ответ на любой вопрос, 1, и вы можете получить крик в колонке на следующей неделе. Если вам нужна подсказка или у вас на чердаке пылится любимый пазл, поищите меня в Твиттере.

Риддлер Экспресс

От Тома Ханрахана (Tom Hanrahan), какого-то крупного игрового шоу, посвященного разработке стратегии

Вы участник конкурса «Кто хочет стать миллионером-загадочником». Вы уже дошли до позднего раунда: вы можете уйти прямо сейчас с 250 000 долларов. Но есть еще два возможных вопроса, на которые вы можете попытаться ответить. Вы можете заработать 500000 долларов, если правильно сделаете одно, а затем уйдете, или 1 миллион долларов, если прибьете их обоих. Если вы попытаетесь ответить и пропустите, вы вернетесь домой с 10 000 долларов.

К счастью, у вас остались два жизненных пути:

  • 50/50: ведущий сокращает четыре возможных ответа до двух; один из них правильный, а другой случайным образом выбирается из трех других ответов.
  • Спросите аудиторию: аудитория студии высказывает свои догадки. Исторически вы знаете, что правильный ответ будет выбирать большинство в 50% случаев; в то время как в 30% случаев правильный ответ заканчивается вторым; 15 процентов треть; и 5 процентов в последнюю очередь. Кроме того, если аудитории доступны только два ответа, они чаще всего выбирают правильный в 65% случаев.

Проблема: вы перегорели. Все давление и вопросы, на которые вы уже ответили, привели вас в беспорядок. Вы оцениваете, что понятия не имеете о последних двух вопросах, поэтому будете гадать наугад.

Какова ваша лучшая стратегия: играть, останавливаться или использовать свои спасательные круги, чтобы максимизировать ожидаемый выигрыш?

Риддлер Классик

От Джерри Мейерса - головоломка, приуроченная к началу футбольного сезона!

Мой сын недавно начал собирать футбольные карточки Riddler League и сообщил мне, что планирует приобрести все карточки из набора. Естественно, это заставило меня задуматься, сколько денег ему придется потратить, чтобы достичь своей цели. Его любимый набор карт - Riddler Silver; набор, состоящий из 100 карт, пронумерованных от 1 до 100. Карты продаются только в наборах, содержащих 10 случайных карт, без дубликатов, причем каждый номер карты имеет равные шансы оказаться в колоде.

Каждый пакет можно приобрести за 1 доллар. Если его пособие составляет 10 долларов в неделю, сколько времени мы ожидаем, прежде чем он получит весь набор?

Что, если он решит собрать более обширный набор Riddler Gold, в котором есть 300 разных карт?

Решение для Riddler Express на прошлой неделе

Поздравляем Bridger Conklin из Вашингтона, округ Колумбия, победителя Riddler Express на прошлой неделе!

На прошлой неделе Riddler Nation только что легализовала ставки на спорт, и все были рады сделать ставки на национальное развлечение: соревновательное подбрасывание монет. Каждый матч по подбрасыванию монеты проводится между двумя командами. Каждая команда выбирает для поиска последовательность орлов и / или решек, состоящую из двух монет, и одновременно переворачивает свою монету снова и снова, пока одна команда не найдет ее последовательность. (Если обе команды находят свои последовательности одновременно, они начинают заново и меняют местами, пока только одна команда не найдет их.) Побеждает первая, которая будет единственной командой, которая нашла свою последовательность.

Когда вы прибыли, вы увидели, что Красная команда выбрала последовательность «орел-решка», а синяя команда выбрала «орел-решка». Вы можете получить равные шансы на любую команду. На какую команду стоит вложить деньги?

Если вам нравится выигрывать, вы должны делать ставку на красную командуи ее последовательность «решка».

Понять, почему Красная команда имеет преимущество, может быть проще всего, если мы вооружимся диаграммой. Решатель Пол Сим написал, чтобы поделиться своим, как показано ниже.

Каждая ветвь дерева изображает переворачивание орла или решки, и победа команды на заданном пути ветвей выделяется цветом этой команды. Красная команда имеет шесть возможных побед в этих первых четырех бросках, а синяя команда - только четыре. «Естественное преимущество красной команды», - писал Пол, - «в том, что они могут совмещать свои неудачи с их следующей попыткой».

Решатель Стивен Феллоуз поделился другим способом визуализации этого решения, показанным ниже. Каждая команда начинает игру в верхней части блок-схемы, подбрасывает монету и следует указанным шагам. Недостаток Синей команды можно увидеть по длинной стрелке вверху в левой части ее диаграммы. Если Синяя команда не может получить вторую голову, по сути, она должна вернуться к началу игры. Если красной команде не удается уловить свой хвост, ей нужно сделать только один шаг назад.

Согласно моделированию многих решателей, все это означает, что Красная команда выигрывает эту игру примерно в 59 процентах случаев, что является хорошей сделкой для вашей ставки на равные деньги.

Решение для прошлой недели Riddler Classic

Поздравляем Питера Виггина из Сан-Франциско, победителя конкурса Riddler Classic на прошлой неделе!

На прошлой неделе Эйси и Дьюси хотели сыграть в Нима. Пример игры выглядит следующим образом: два игрока начинают с трех куч: один с тремя фишками, один с четырьмя фишками и один с пятью фишками. Они по очереди выбирают кучу и удаляют жетоны - по крайней мере, один жетон, но они также могут брать несколько жетонов или всю кучу. Выигрывает игрок, который берет последний жетон из последней кучи.

Проблема заключалась в том, что Эйси и Дьюси были экспертами в этой игре и знали, что при идеальной игре игрок, идущий первым, гарантированно выиграет. Скучный! Но они все равно хотели играть, поэтому внесли некоторую случайность. Они бросали три кубика и использовали эти три числа, чтобы определить количество фишек, помещенных в три стопки, чтобы начать игру.

Но эта рандомизированная игра с Нимом по-прежнему дает преимущество одному из игроков. Чтобы сделать эту игру со случайным началом действительно справедливой, если Эйси пойдет первым, сколько он должен поставить против никеля Дьюси?

Эйси должен поставить 40 центов.

Это потому, что у Дьюси в восемь раз меньше шансов на победу, чем у Эйси. Эти двое могут сыграть 6 × 6 × 6 = 216 различных игр в Ним, учитывая броски трех кубиков. При идеальной игре первый игрок выиграет 192 из этих игр. Это 192 победы к 24 поражениям для Эйси, или соотношение 8: 1. Следовательно, 40 центов Эйси, поставленные против никеля Дьюси, были бы справедливой ставкой.

Немного сложнее выяснить, почему192 игры являются выигрышными для первого игрока. Один из способов попасть туда - это тщательный компьютерный поиск 216 игр, и Зилин Чжоу привел пример. Другой вариант - подумать об идее «ним-суммы», которая в данном случае преобразует числа игральных костей в двоичные и складывает их без переноса. Поскольку два игрока по очереди, преобразование вещей в двоичные файлы помогает нам решить головоломку. Например, сумма нима при выпадении 5 и 3 равна 101 + 011 без керри, что равно 110 или 6. Было доказано, что первый игрок в игре Ним гарантированно выиграет, пока ним -сумма данной игры не равна нулю. Сумма являетсяноль в следующих играх: (1,2,3), (1,4,5), (2,4,6) и (3,5,6). Есть 3 × 2 × 1 = 6 способов бросить каждую из этих четырех игр, в общей сложности 24 победы для Дьюси и 192 победы для Эйси.