| | 08.09.2021

В телевизионном игровом шоу «Цена правильная» участники, выигравшие отдельные игры, продвигаются в группах по три человека для участия в другой игре под названием «Большое колесо». Победитель этой игры попадает в «Showcase Showdown», где есть шанс выиграть очень крупные призы.

Большое Колесо

Большое колесо похоже на колесо рулетки, но установлено на его краю. Колесо содержит 20 секций, показывающих денежные суммы от 0,05 до 1,00 долларов с шагом 5 центов. Конкурсанты крутят колесо с целью получить как можно ближе к $ 1,00 (без превышения). В конце первого вращения им предоставляется возможность снова запустить вращение. Если они вращаются во второй раз, значение, полученное во втором вращении, добавляетсяк этому первому вращению, и это их общая сумма. Нет возможности крутить больше двух раз.

Каждый участник подходит к колесу и вращается (один или два раза). Игрок, который ближе всего к $ 1,00, не переходя больше, переходит к «Showcase Showdown».

В случае выигрыша равного счета игроки с равным счетом вращаются снова (одно вращение только Василий) в качестве тай-брейка для определения победителя (повторение процесса при необходимости). Это называется «спин-офф».

Также существует бонусная выплата, если какой-либо игрок раскрутил ровно 1,00 доллар за один или два вращения. Я собираюсь проигнорировать этот факт в своем анализе, понимая, что потенциальная денежная ценность вскрытия витрины значительно выше, чем бонусный приз. Ясно: если игрок находится в выигрышной позиции, но с результатом менее 1,00 доллара, он небудет вращаться снова, чтобы рискнуть проиграть, в противном случае он получит ровно 1,00 доллар, чтобы получить дополнительный бонус.

Вот как числа появляются на колесе. Они довольно хаотично распределяются по колесу. Если бы числа были сгруппированы или расположены в порядке убывания, то опытный игрок мог бы попытаться оценить, насколько сложно вращать колесо, чтобы попасть в группу с низкими оценками и минимизировать вероятность перебора.

10 45 70 25 90 5100 15 80 35 60 20 40 75 55 95 50 85 30 65

Там же , по крайней мере$ 0,20 разница между любыми двумя соседними числами на колесе.

Стратегия

Какая оптимальная стратегия? Следует ли игроку вращать более одного раза?

Ясно, что если они раскрутятся во второй раз, есть шанс, что они разорятся, но стоит ли этого риска?

Игра на двоих

Давайте упростим игру, чтобы ее было легче анализировать. Представим, что игроков всего двое, а не трое.

Чтобы понять оптимальную стратегию для каждого игрока, мы работаем в обратном порядке.

Стратегия второго игрока

Стратегия второго игрока довольно проста. На самом деле реального решения нет. Второй игрок просто крутится, пока не победит первого или не вылетит, вот и все! Быть вторым - преимущество, так как вы уже знаете цель, которую должны бить. Вам никогда не придется решать: «Достаточно ли хороша моя оценка?»

Если при первом вращении второй игрок побьет счет первого игрока, они останавливаются, выиграв.

Если они вращают счет ниже,чем у первого игрока, они вращаются снова, независимо от того, каким было их первое вращение. Им нечего терять! Не вращаться снова - мгновенная потеря. Повторное вращение, даже если есть высокий риск проигрыша, - единственный способ получить шанс на победу.

Что будет, если будет ничья? Если во втором вращении есть ничья, это толчок, и он переходит в спин-офф. Немного более сложная ситуация: что делать, если в первом вращении ничья: если второй игрок выиграет ничью и форсирует спин-офф (для которого вероятность выигрыша составляет 50:50), или рискнет вторым вращать, чтобы выиграть сразу? Это зависит от стоимости галстука. Все , что меньше , чем $ 0,50, и это более выгодно , чтобы спина снова ( у вас есть лучше , чем 50:50 не разоряя на втором спина, ср50:50 шанс на спин-офф).

Мы ясно видим, что второй игрок имеет преимущество. Стратегия также проста: вращайте снова, если не выиграли. В случае ничьей, вращайте снова, если у вас меньше 0,50 доллара.

Какая оптимальная стратегия для первого игрока? Какой должна быть его стратегия, чтобы максимизировать свои шансы на победу?

Стратегия первого игрока

Оптимальная стратегия для первого игрока более сложная. Первый игрок должен решить: «Достаточно ли у меня очков?» в конце первого вращения. Должны ли они делать банк или снова вращаться? Они должны решить это, исходя из того факта, что второй игрок автоматически проиграет / выиграет без сожалений.

Ключевой вопрос заключается в том, должен ли первый игрок сделать еще одно вращение, и, конечно же, ответ на него зависит от того, каким было первое вращение. Если первое вращение будет низким, он будет вращаться снова. В качестве альтернативы, если первое вращение будет высоким, он сделает банк и не рискнет проиграть. Какого размера достаточно для банка, зная, что второму игроку нечего терять при вращении?

«Достаточно ли хороша моя оценка?»

Чтобы определить этот ответ, мы должны вычислить две вероятности:

Вероятность того, что, если он выйдет, выиграет текущий счет первого игрока.

Вероятность того, что, если он снова раскрутится, выиграет новый счет (понимая, что есть также шанс перебора).

После вычисления этих двух вероятностей игрок должен предпринять действие с наибольшей вероятностью. Эти вероятности зависят от значения первого спина, и, как мы увидим, будет значение, при котором эти две вероятности пересекаются, и мы можем сжать оптимальную стратегию до простого правила остановки.

Это теория, а теперь давайте посмотрим на цифры ...

Анализ

Есть множество методов, которые мы можем использовать для вычисления этих двух вероятностей, и в интересах разнообразия я покажу два разных детерминированных способа. (Другой возможный способ вычислить оптимальную стратегию - это просто использовать симуляцию Монте-Карло для моделирования игры. Это не сложная система, а с разумным генератором случайных чисел и парой сотен тысяч «вращений», что довольно неплохо. может быть получено точное моделирование.Для каждого возможного условия остановки может быть выполнено множество испытаний, и условие остановки, которое приводит к наилучшим шансам, будет оптимальной стратегией).

Первый игрок всегда придерживается

Сначала мы рассчитаем шансы на победу первого игрока, если он остановится на своем первом вращении, независимо от того, что это за вращение. Давайте нарисуем древовидную диаграмму, чтобы увидеть все, что могло произойти. Чтобы упростить цифры, мы конвертируем цены от 0,05 до 1 доллара в числа от 1 до 20, разделив их на 5 центов (таким образом, 0,05 доллара соответствует 1, а 1 доллар соответствует 20).

Выглядит немного сложно, но на самом деле не так уж и плохо. Давайте рассмотрим вещи слева. Игрок 1 только что развернулся, и мы моделируем, что произойдет, если он встанет, независимо от того, что он получит. Теперь второй игрок вращается. Могло произойти три вещи:

Второй игрок набирает больше очков. Это мгновенная победа для второго игрока. Мы знаем, что раскрутил первый игрок (P1), поэтому мы знаем, что количество цен, которые превзошли это (20-P1), и вероятность того, что второй игрок раскрутит одно из этих значений, составляет (20-P1) / 20.

Возможно, что второй игрок сможет набрать столько же очков, что и первый игрок за одно вращение. Это происходит один раз из двадцати. То, что происходит в этом галстуке, зависит от его ценности. Если значение ничьей больше 10 (0,50 доллара США), то в интересах второго игрока сделать банк и вызвать спин-офф. Спин-офф - это шанс 50:50, и при счете выше 10 более вероятно, что второй игрок вылетит, если он снова раскрутится. Если ничья меньше 10, то у второго игрока шансы не проиграть больше, чем 50:50, поэтому следует выполнить повторное вращение. Точные шансы зависят от значения ничьей. Если ничья равна 1 (0,05 доллара США), во втором вращении будет только одно число, которое вызовет крах (1 доллар США). Если ничья 2 (0,10 доллара), есть два числа (1 доллар, 0 долларов.95)… Вероятность вылета второго игрока на этой ветке составляет P1 / 20.

Наконец, есть вероятность, что вращение второго игрока меньше, чем у первого игрока. Это вызывает автоматическое второе вращение для второго игрока и поддерево в правом нижнем углу. В этом поддереве есть четыре состояния: Бюст, Ничья, Победа и Проигрыш.

Воспользуемся таблицей для отображения всей этой информации:

P1 SPIN Пр(П2 победа) Pr(галстук) Пр(снова брось) V (галстук) Pr(выигрыш во 2-м вращении) EV (2-й спин) ФИНАЛЬНЫЙ
0,05 доллара США0,950,050,000,050,000,0250,00250
0,10 долл. США0,900,050,050,100,050,0750,00875
0,15 доллара США0,850,050,100,150,100,1250,02000
0,20 долл. США0,800,050,150,200,150,1750,03625
0,25 доллара США0,750,050,200,250,200,2250,05750
0,30 доллара США0,700,050,250,300,250,2750,08375
0,35 доллара США0,650,050,300,350,300,3250,11500
0,40 доллара США0,600,050,350,400,350,3750,15125
0,45 доллара США0,550,050,400,450,400,4250,19250
0,50 доллара США0,500,050,450,500,450,4750,23875
0,55 доллара США0,450,050,500,500,500,5250,28750
0,60 доллара США0,400,050,550,500,550,5750,34125
0,65 долл. США0,350,050,600,500,600,6250,40000
0,70 доллара США0,300,050,650,500,650,6750,46375
0,75 доллара США0,250,050,700,500,700,7250,53250
0,80 долл. США0,200,050,750,500,750,7750,60625
0,85 долл. США0,150,050,800,500,800,8250,68500
0,90 долл. США0,100,050,850,500,850,8750,76875
0,95 доллара США0,050,050,900,500,900,9250,85750
1 доллар США0,000,050,950,500,950,9750,95125

Первый столбец в таблице выше - это то, что выбросил первый игрок. В следующих трех столбцах показаны вероятности трех случаев (мгновенная победа P2, ничья, повторный бросок P2 без ничьей). Эти три вероятности, конечно же, дают в сумме 1,0.

Мгновенный проигрыш P2 не имеет значения для P1. В следующем столбце показано значение P1 на галстуке. Ничья со значением>0,50 доллара США составляет 0,5. Чем меньше P1, тем меньше ожидаемый шанс на победу для P1. Это значение инкапсулирует ожидаемое значение либо второго броска P2 на текущую сумму, либо побочного дохода 50:50.

Интересно, что вероятность того, что первый игрок все еще выиграет после второго броска, равна вероятности того, что произойдет второй бросок. Это можно визуализировать, представив это как скользящее окно. Независимо от того, что П2 выбрасывает в качестве своего первого вращения, есть некоторые вторые вращения, которые вызовут перебор, а некоторых будет недостаточно. В совокупности количество «выигрышных» клеток для второго игрока не зависит от значения первого вращения из P2.

Это проиллюстрировано ниже. Представьте, что на P1 выпало 0,25 доллара. В таблице ниже вверху указаны все возможные значения для второго вращения, а внизу слева - возможные значения, которыми мог бы быть первый спин второго игрока.

Поскольку мы знаем, что P2 не выигрывал (или не равнялся) мгновенно, существует четыре возможных значения, которые они могли бы получить: 0,05 доллара США, 0,10 доллара США, 0,15 доллара США или 0,20 доллара США. Каждый из них обозначен строкой в ​​таблице выше. Для каждой строки есть одно возможное значение, которое приводит к ничьей (темно-красный), и четыре других значения, которые приводят к проигрышу для игрока 2 (либо потому, что они вызовут перебор, либо недостаточно высокое значение для обеспечения победы) . Это иллюстрирует скользящее окно, в котором количество «выигрышных» значений вращения не зависит от первого вращения второго игрока.

Ожидаемое значение второго броска - это прибавление 1/20 шанса на ничью (что составляет 0,5 для первого игрока) и вероятности выигрыша сразу после второго броска.

Последний столбец справа, зеленый, показывает ожидаемый результат, основанный на том, чтобы оставаться на этом значении P1. Это создается путем добавления (логическое ИЛИ) каждого из ожидаемых значений трех ветвей: нулевое значение из мгновенного проигрыша, плюс Pr(ничья) × значение (ничья), плюс Pr(бросок снова) × EV (второй бросок).

Окончательные значения находятся в диапазоне 0,25% (если первый игрок развернул 0,05 доллара и сделал банк, то второй игрок также выбросил 0,05 доллара, а при втором вращении ему не повезло, что он выбросил 1 доллар и вылетел, что дало первому игроку выигрыш = 1/20 × 1/20), до 95,125%, где P1 выбросил 1 доллар, то же самое сделал второй игрок, а затем первый игрок проиграл в спин-оффе 50:50 (это не симметрично с 0,05 доллара. , потому что есть несколько способов, которыми второй игрок может выиграть 1 доллар, либо из натуральных 1 доллара за первое вращение, либо с помощью различных комбинаций двух вращений, которые в сумме составляют 1 доллар).

В среднем, если первый игрок всегда стоит после своего первого вращения, их ожидаемый шанс на победу, усредненный по всем значениям, составляет всего 34%.

Первый игрок всегда катится снова

Мы только что подсчитали шансы на победу, если P1 всегда остается в силе. Теперь давайте посчитаем шансы на выигрыш, если P1 всегда будет снова вращаться. Мы могли бы использовать ту же стратегию, но давайте посмотрим на другой способ.

Еще один простой способ рассчитать шансы - просто перечислить все возможные комбинации вращений. Компьютеры очень хороши в этом. Существует 20 возможных значений того, каким может быть первое вращение первого игрока, и 20 возможных значений того, каким может быть второе вращение первого игрока, и аналогичные 20 возможных значений для каждого из двух других вращений второго игрока. Это 20 × 20 × 20 × 20 = 160 000 комбинаций. Используя компьютерную программу и четыре вложенных цикла, мы можем просто пройти через каждый из них и записать, сколько раз это приводит к выигрышу для P1, сколько раз это приводит к проигрышу для P1 и сколько раз приводит к ничьей.

P1 SPIN # Побед # Потери # Галстуки Всего ФИНАЛЬНЫЙ
0,05 доллара США2514507641080000,3398750
0,10 долл. США2511508040980000,3394375
0,15 доллара США2504508940780000,3384375
0,20 долл. США2491510540480000,3366250
0,25 доллара США2470513040080000,3337500
0,30 доллара США2439516639580000,3295625
0,35 доллара США2396521538980000,3238125
0,40 доллара США2339527938280000,3162500
0,45 доллара США2266536037480000,3066250
0,50 доллара США2185547034580000,2946875
0,55 доллара США2085560031580000,2803125
0,60 доллара США1964 г.575228480000,2632500
0,65 долл. США1820 г.592825280000,2432500
0,70 доллара США1651613021980000,2200625
0,75 доллара США1455636018580000,1934375
0,80 долл. США1230662015080000,1631250
0,85 долл. США974691211480000,1288750
0,90 долл. США68572387780000,0904375
0,95 доллара США36176003980000,0475625
1 доллар США08000080000,0000000

Всего существует 8000 возможных комбинаций для каждого начального значения вращения P1. Они показаны в таблице выше. Следующие три столбца показывают числа, которые приводят к победе для P1, те, которые приводят к проигрышу, и те, которые приводят к ничьей. В последнем столбце показан общий ожидаемый результат для этой строки (выигрыши с оценкой 1,0, проигрыши с оценкой 0,0 и ничьи с оценкой 0,5).

Вы можете видеть, что повторное вращение после вращения 1,00 доллара при первом вращении - это самоубийство; это не может привести к победе или ничьей.

(Общий средний ожидаемый доход по всем числам составляет всего 24,44%, что означает, что если бы вам пришлось играть в русскую версию этой игры в качестве первого игрока, вращайте только один раз! Причина этого более низкого процента в том, что вы не получаете выбор, и не может извлечь выгоду из знания, что у вас высокий начальный балл и для банка; у второго игрока все еще есть глаза, чтобы оценить лучшую стратегию, и если вы вылетели, он мгновенно побеждает).

Результаты

Теперь у нас есть все необходимые данные. Вот две объединенные таблицы результатов:

P1 SPIN СТОЯТЬ ВРАЩАТЬСЯ
0,05 доллара США0,00250000,3398750
0,10 долл. США0,00875000,3394375
0,15 доллара США0,02000000,3384375
0,20 долл. США0,03625000,3366250
0,25 доллара США0,05750000,3337500
0,30 доллара США0,08375000,3295625
0,35 доллара США0,11500000,3238125
0,40 доллара США0,15125000,3162500
0,45 доллара США0,19250000,3066250
0,50 доллара США0,23875000,2946875
0,55 доллара США0,28750000,2803125
0,60 доллара США0,34125000,2632500
0,65 долл. США0,40000000,2432500
0,70 доллара США0,46375000,2200625
0,75 доллара США0,53250000,1934375
0,80 долл. США0,60625000,1631250
0,85 долл. США0,68500000,1288750
0,90 долл. США0,76875000,0904375
0,95 доллара США0,85750000,0475625
1 доллар США0,95125000,0000000

Для каждого возможного значения для первого вращения мы можем увидеть ожидаемый результат, если мы останемся, или если мы снова начнем вращаться. Для каждой ситуации мы берем большее значение. Вы можете видеть, что когда первый спин низкий, выгодно вращать снова. Когда первый спин высокий, лучшая стратегия - стоять (пока неудивительно). Однако эта таблица показывает, где стратегия меняет направление, и это составляет 0,55 доллара.

Если при первом вращении первый игрок раскрутил $ 0,55 или выше, он должен остаться. Если он вращает меньше 0,55 доллара, ему следует снова запустить вращение.

Если первый игрок на своем первом вращении раскрутил менее $ 0,55, он должен выполнить повторное вращение.

Эта комбинированная стратегия увеличивает шансы первого игрока на победу до 45,73%.

Вот данные на графике. Вы можете увидеть, как полосы пересекаются на отметке 0,55 доллара США.

Вероятность выигрыша игрока не превышает 0,5 до тех пор, пока он не раскрутит 0,75 доллара или выше, но все равно в их интересах остановиться, если он наберет что-нибудь выше 0,50 доллара.

Три игрока

Приложив немного больше усилий, этот анализ можно расширить для выработки оптимальной стратегии при наличии трех игроков. Опять же, необходимо действовать в обратном порядке и начинать со стратегии для игрока 3. Это еще больше усложняется, потому что в этом случае больше вовлечены ничьи. В случае ничьей в спин-офф попадают только те игроки, которые сыграли вничью. Если игрок 2 побеждает игрока 1 и не выполняет повторное вращение, то результаты игрока 1 не имеют значения. Точно так же, если первый или второй игрок вылетает, третий игрок должен беспокоиться только об одном противнике.

Об этом написаны разные статьи. Вот тот, который также обсуждает результаты и сравнивает с психологическими результатами того, что игроки жизней сделали, чтобы вращать или не вращать, а также учитывает ценность бонусного вращения.

Вот краткое изложение оптимальной стратегии каждого игрока, когда есть три игрока:

Игрок 1 снова запускает вращение, если за первое вращение он набирает 65 или меньше очков.

Игрок 2 снова вращается, если:

Она вращает на 50 очков меньше.

Если она набирает 65 или меньше и ее счет равен баллу игрока 1.

Если бы невращение, это гарантировало бы убыток.

Игрок 3 снова раскручивает, если:

Она набирает на 50 очков меньше и делает ничью с еще одним участником.

Если она набирает 65 или меньше и имеет связи с обоими предыдущими участницами.

Если бы невращение, это гарантировало бы убыток.

Тройной спин-офф

Держитесь за свои места. Вот видео: сначала трехсторонняя связь, затем пара двухсторонних.

Вы можете найти полный список всех статей здесь. Щелкните здесь, чтобы получать уведомления о новых статьях по электронной почте.